Question

（本小题满分14分）已知函数 ，

（1）   若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）   令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（３）求证：当时，

Answer

（1）在上恒成立，

  令 ，有  得  得        

（2）假设存在实数，使（）有最小值3，

①  当时，在上单调递减，，（舍去），

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件. 

③当时，在上单调递减，，（舍去），

综上，存在实数，使得当时有最小值3. 

(3)由（２）知当时有最小值，即

又原不等式成立只须成立

令故

当时，故在上单调递增

故

故，即原命题得证

【解析】略