Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，△PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD

（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；

（III）求直线AB与平面PCD的距离

Answer

（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB

∴BC⊥侧面PAB         又∵BC侧面PBC

∴侧面PAB⊥侧面PBC

（II）【解析】
取AB中点E，连结PE、CE

又∵△PAB是等边三角形   ∴PE⊥AB    

又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD

∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求   9分

（Ⅲ）【解析】
在矩形ABCD中，AB//CD

∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD

取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB

又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF   又∵AB//CD

∴CD⊥平面PEF   ∴平面PCD⊥平面PEF

作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD

在Rt△PEF中，EG=为所求.

【解析】略