Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形是正方形，，，，，．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer

解:（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以．

故为异面直线与所成的角．

因为，所以．故．

在中，，，所以．

因此．  5分

所以异面直线与所成的角的余弦值为．

（Ⅱ）过点作，交于，

则，又，

所以．从而．

又，且．

所以．  10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知，可得，即为的中点．

取的中点，连接．则．

因为，所以．过点作，交于．

则为二面角的平面角．

连接，可得．

所以，从而．由已知可得．

由，，可得．

在中，．

所以二面角的正切值为

【解析】略