Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．（14分）

Answer

18.【解析】
（1）f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），

18.当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）

18.当a＞0时，由f′（x）＞0解得x＜-a或x＞a；

18.由f′（x）＜0解得-a＜x＜a，

18.当a＞0时，f（x）的单调增区间为(-∞，-a)，(a，+∞)；单调减区间为(-a，a)．

18.（2）因为f（x）在x=-1处取得极大值，

18.所以f′（-1）=3×（-1）2-3a=0，∴a=1．

18.所以f（x）=x3-3x-1，f′（x）=3x2-3，由f′（x）=0解得x1=-1，x2=1．

18.由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，

18.在x=1处取得极小值f（1）=-3．因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，又f（-3）=-19＜-3，f（3）=17＞1，

18.结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）．

【解析】略