Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，             

（1）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；

（2）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围；

Answer

【解析】
（1）f'（x）=lnx+1，

当x∈(0，1e)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1e，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增

①0＜t＜t+2＜1e，没有最小值；

②0＜t＜1e＜t+2，即0＜t＜1e时，f(x)min=f(1e)=-1e；

③1e≤t＜t+2，即t≥1e时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；（5分）

所以f(x)min={-1e，0＜t＜1e.tlnt，t≥1e

（2）由已知，2xlnx≥-x2+ax-3，则a≤2lnx+x+3x，

设h(x)=2lnx+x+3x(x＞0)，则h′(x)=(x+3)(x-1)x2，

①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，

②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，

所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

所以a≤h（x）min=4；

【解析】略