Question

已知椭圆C：的两个焦点为、，且经过点，一组斜率为的直线与椭圆C都相交于不同两点、。

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：线段的中点都有在同一直线上；

（3）对于（2）中的直线，设与椭圆C交于两点M、N，试探究椭圆上使MNQ面积为的点Q有几个？证明你的结论。（不必具体求出Q点的坐标）

Answer

【解析】
（1）（法一）

        椭圆C的方程为

（法二）由，解得  椭圆C的方程为

（2）（法一）设、，的中点坐标，则

，两式相减得

又，， 代入，得

线段的中点都有在同一直线：上；

（法二）设直线的方程为，代入得

，设、，的中点坐标，则

，则

消去得

线段的中点都有在同一直线：上；（中点弦、定直线、消参求轨迹）

（3）代入得

或           |MN|=,

设点Q到直线的距离为，则由=得

（法一）设Q在与直线MN平行的直线上，则直线与直线MN的距离为          解得，

时，代入得①

，

方程①有两不等实解，即有两个不同点Q满足；同理可得，时也有两个不同的点Q满足。

综上，共有4个不同点Q满足条件

(若求点Q坐标,则为)

法(二)设D为椭圆上不同于M、N的任一点，D到MN的距离为

，

即椭圆C上点到直线MN距离的最大值为，

而,故由图可知，椭圆C上有4个点Q能满足条件。

【解析】略