Question

（本小题14分）已知函数,曲线在处的切线方程为,若时, 有极值.

(1)求的值; (2)求在区间上的最大值和最小值.

Answer

解:  （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,

得f′(x)=3x2+2ax+b,

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0                  ①

当x=时，y=f(x)有极值，则f′（）=0,

可得4a+3b+4=0                                     ②

由①②解得a=2,b=-4.

由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4.∴c=5………………………………….6分

（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

∴f′(x)=3x2+4x-4,

令f′(x)=0,得x=-2,x=.

当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x

-3

(-3,-2)

-2

(-2,)

(,1)

1

+

0

-

0

+

y

8

单调增递

13

单调递减

单调递增

4

∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为…………………….14分

【解析】略