Question

（本小题14分）如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,为的中点.

(1)求直线与所成角的余弦值;

(2)在侧面内找一点,使平面，并分别求出点到和的距离.

Answer

解  方法一  （1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、

E(0，，1)，从而=（，1，0），=（，0，-2）.

设与的夹角为，则cos===，

∴AC与PB所成角的余弦值为……………………………………7分

（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则=（-x，，1-z），由NE⊥平面PAC可得

，即,化简得,∴ 

即N点的坐标为（，0，1），

从而N点到AB、AP的距离分别为1，…………………14分

方法二  （1）设AC∩BD=O，

连接OE，AE，BD，则OE∥PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴由余弦定理得cos∠EOA=,

即AC与PB所成角的余弦值为.

(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.

设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF.

∵DF⊥AC，DF⊥PA，

∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC.

∴N点到AB的距离为AP=1，N点到AP的距离为AF=.

【解析】略