Question

（本小题14分）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

（1）求椭圆的方程；    

（2）求证:直线与直线斜率的乘积为定值；

（3）求线段的长度的最小值．

Answer

（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

    故椭圆的方程为                   ……………………………4分

（2）设直线AS的斜率，直线BS的斜率的乘积为=………………..8分

（3）解法一：直线AS的斜率显然存在，且>0，故可设直线的方程为，

从而   由(2)知直线BS的方程为

从而，，当且仅当，即时等号成立

线段的长度取最小值   ……………………………………………14分

解法二：直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，

从而        由得0      

设则得，从而                       

即又由得 

故   又    当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值   ………………………14分

【解析】略