Question

（本题满分14分）

已知动圆过定点P(1,0)且与定直线相切,点C在上.

（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程;

（Ⅱ）设过点P且斜率为的直线与曲线交于A、B两点.问直线上是否存在点C ,使得是以为直角的直角三角形？如果存在，求出点C的坐标;若不能,请说明理由.

Answer

【解析】
①据已知，动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等。由抛物线的定义，可知。动圆圆心的轨迹方程为抛物线：。…….5分

②

从已知得  

  由得：

解出：。

所以点坐标为点坐标为。……………9分

法一:设，使为直角。，

求得,所以，直线上存在点 ,使得是以为直角的直角三角形。                              ………14分

法二:设D为AB中点,过D 作DC垂直于于C.

∵P为抛物线焦点

∴,又∵D为AB中点,,∴CD为梯形的中位线. ∴,∴∠

设,.所以，直线上存在点 ,使得是以为直角的直角三角形。     ………..14分

【解析】略