Question

(本小题满分14分）设椭圆方程 （），为椭圆右焦点，为椭圆在短轴上的一个顶点，的面积为6,（为坐标原点）；

（1）求椭圆方程；

（2）在椭圆上是否存在一点，使的中垂线过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer

【解析】
（1）设

∵为椭圆在短轴上的一个顶点，且的面积为6,

∴.              ----------------------------------------------------------- 1分

又∵          ----------------------------------------------------------2分

∴或         ---------------------------------------------------------4分

∴椭圆方程为或  ---------------------------------------6分

（2）假设存在点，使的中垂线过点.

若椭圆方程为，则，由题意，

∴点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆.

设，则其轨迹方程为     -------------------------------------------8分

显然与椭圆无交点.

即假设不成立，点不存在.              -----------------------------------------------9分

若椭圆方程为，

则，

∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆.

则其轨迹方程为             -----------------------------------------1 1分

则，∴，-------------------------------------------- 13分

故满足题意的点坐标分别为，，，

---- 14分

【解析】略