Question

已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令.

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）研究函数在区间上的零点个数.

Answer

∵，∴.                 …… 1分        

∵对于任意R都有,

∴函数的对称轴为，即，得.   …… 2分

又，即对于任意R都成立，

∴,且．

∵，      ∴．

∴．                …… 4分

(2) 【解析】
       …… 5分

① 当时，函数的对称轴为，

若，即，函数在上单调递增；  …… 6分

若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．  …… 7分

② 当时，函数的对称轴为，

则函数在上单调递增，在上单调递减．   …… 8分

综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；                     …… 9分

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为

和．                                         …… 10分

 (3)【解析】
① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，

又，

故函数在区间上只有一个零点．       …… 11分

② 当时，则，而，

，

（ⅰ）若，由于，

且，

此时，函数在区间上只有一个零点；                    …… 12分

（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点．                 …… 13分

综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；

当时，函数在区间上有两个不同的零点．

【解析】略