Question

如图，已知斜四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD．

(1)  证明：C₁C⊥BD；

(2)  当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明

Answer

（1）证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于O，连结C1O．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD．

又∵ ∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，

∴ △C1BC≌△C1DC，

∴ C1B=C1D，

∵ DO=OB，

∴ C1O⊥BD，                                                      ——3分

但AC⊥BD，AC∩C1O= O，

∴ BD⊥平面AC1．

又 C1C平面AC1，

∴ C1C⊥BD．                                                      ——6分

(2) 当=1时，能使A1C⊥平面C1BD．

证明一：

∵ =1，

∴ BC=CD=C1C，

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，

由此可推得BD=C1B=C1D．

∴ 三棱锥C－C1BD是正三棱锥．                                      ——9分

设A1C与C1O相交于G．

∵ A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，

∴ C1G︰GO=2︰1．

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形C1BD的中心，

∴ CG⊥平面C1BD．

即A1C⊥平面C1BD．                                                ——12分

证明二：

由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，

∵ A1C平面AC1，

∴  BD⊥A1C．                                                     ——9分

当时，斜四棱柱的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C．

BDBC1=B，

∴  A1C⊥平面C1BD．

【解析】略