Question

如图在直三棱柱中,.

(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;

(Ⅲ)在上是否存在点,使得∥平面, 若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.

Answer

解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.

由可得.

所以.    (Ⅱ)过作于,连结.

由底面可得.故为二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,,

故所求二面角的余弦值大小为. 

(Ⅲ)存在点使∥平面,且为中点,下面给出证明.设与交于点则为中点.

在中, 连结,分别为的中点,故为的中位线,

∥,又平面,平面,    ∥平面.

故存在点为中点,使∥平面.      

解法二 直三棱柱,底面三边长,

两两垂直.

如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则

.

(Ⅰ),

,故.             

(Ⅱ)平面的一个法向量为,

设平面的一个法向量为,,,

由得

令,则.则.故＜＞=.

所求二面角的余弦值大小为.

（3）同上

【解析】略