Question

已知，函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若，试证明：“方程有唯一解”的充要条件是“”。

Answer

【解析】
（Ⅰ）

当时，，∴单调递增区间为；

当时，，∴单调递减区间为；

（Ⅱ）记，

⑴充分性：若，则，

当时，在（0，1）上是单调递减函数；

当时，在上是单调递增函数．

∴当时，，即，当且仅当时取等号．

∴方程有唯一解．

⑵必要性：若方程有唯一解，即有唯一解．

令，得

∵∴（舍去），

当时，在上是单调递减函数；

当时，在上是单调递增函数．

∴当时，

∵有唯一解，∴．则即

∴，∵，∴

设函数∵在时是增函数，∴至多有一解．

∵，∴方程（*）的解为，即，解得

由⑴、⑵知，“方程有唯一解”的充要条件是“”

【解析】略