Question

已知函数.

（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点坐标；

（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数

有无穷多个.

Answer

【解析】
(1)因为  ，所以在点处的切线的斜率为

，

所以在点处的切线方程为 ，……2分

整理得，所以切线恒过定点 ．   ………4分

(2) 令<0，对恒成立，

因为 （*）

                       ………………………………………………………………6分

令，得极值点，，

①当时，有，即时，在（，+∞）上有，

此时在区间上是增函数，并且在该区间上有∈，不合题意；

②当时，有，同理可知，在区间上，有∈，

也不合题意；          …………………………………………… 8分                              

③当时，有，此时在区间上恒有，

从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

所以．    

综上可知的范围是．      ……………………………………………12分

 (3)当时，

记．

因为，所以在上为增函数，

所以，        ………………………………14分

设, 则,

所以在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个．16分

【解析】略