Question

已知椭圆内有圆，如果圆的切线与椭圆交A、B两点，且满足（其中为坐标原点）．

（1）求证：为定值；

（2）若达到最小值，求此时的椭圆方程；

（3）在满足条件（2）的椭圆上是否存在点P，使得从P向圆所引的两条切线互相垂直，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（1）方法1：设圆的切线的切点坐标为，则切线的方程为，与椭圆方程联立消去得：．

设，因，所以，又，，所以． （*）

     将代入（*）得

，

因，因此，所以（定值）.

方法2：设切线的方程为，则有

     ，

所以.

因，所以，即

     （定值）．

（2）因，

所以．

当时取到最小值，此时椭圆的方程为．

（3）如果存在满足条件的点P，则向圆引两条切线，切点分别为M、N，连结OM、ON，则，如果，则四边形OMPN为正方形，所以，因为椭圆上到中心最近的点为短轴的端点，距离为，故存在四个点满足条件，其坐标为，即．

【解析】略