Question

如图，圆柱OO内有一个三棱柱ＡＢＣ—Ａ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。

(1)证明：平面平面;

(2)设ＡＢ=ＡＡ,在圆柱ＯＯ内随机选取一点，记该点取自三棱柱ＡＢＣ—ＡＢ内的概率为Ｐ.

①当点C在圆周上运动时，求的最大值；

②记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。

Answer

（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

（2）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为

=，又因为，

所以=，当且仅当时等号成立，

从而，而圆柱的体积，

故=当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是。

（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因为平面，所以是平面的一个法向量，

设平面的法向量，由，故，

取得平面的一个法向量为，因为，

所以。

【解析】略