Question

（本小题满分14分）设，   ．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；

（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

Answer

21. （本题满分14分）

（1）当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为；         4分

（2）存在，使得成立 

等价于：，

考察， ，

递减

极（最）小值

递增

由上表可知：，

                                                                 ，

所以满足条件的最大整数；                         9分

（3）当时，恒成立

等价于恒成立，

记，，   。

记，，由于，

,   所以在上递减，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以。                 14分

（3）另解：对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

        由（2）知，在区间上，的最大值为。

，下证当时，在区间上，函数恒成立。

当且时，，

记，，  

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即，    

所以当且时，成立，

即对任意，都有。               14分

【解析】略