Question

（本大题满分14分）

已知函数 ，其中,b∈R且b≠0。

（1）求的单调区间；

（2）当b=1时，若方程没有实根，求a的取值范围；

（3）证明：，其中．

Answer

【解析】
（1）由题意可知：，b≠0时,

令，得，                    （1分）

    则①b>0,当时，，单调递减；                                   

    当时，，单调递增                                   （3分）②b<0,当时，，单调递增；                                

    当时，，单调递减                                   （5分）

（2）由（1）可得在处取得极小值，且没有实根，               （7分）

则，即，解得：                                （8分）

（3）方法1：由（2）得，令，成立，

则，恒成立                                               （10分）

故

，即得证。                                                           （14分）

方法2：数学归纳法

（1）         当时，成立；

（2）         当时，成立，

当时，

同理令，，即，                （10分）

则，                          （12分）

故，

即对也成立，

综合（1）（2）得：，恒成立。       （14分）

【解析】略