Question

若 P为椭圆上任意一点，为左、右焦点，

(1)若的中点为M，求证：；

(2)若，求之值；

(3)椭圆上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标，

若不存在，请说明理由。

Answer

(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，

∴|MO|＝＝

＝a－＝5－|PF1|…….3分

(2)【解析】
∵ |PF1|＋|PF2|＝10，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，

在△PF1F2中，cos 60°＝，

∴|PF1|·|PF2|＝100－2|PF1|·|PF2|－36，

∴|PF1|·|PF2|＝.  ………8分

(3)【解析】
设点P(x0，y0)，则 .①

易知F1（-3，0），F2（3，0），故＝(－3－x0，－y0)，

＝(3－x0，－y0)，

∵ =0，∴x2－9＋y2＝0，②

由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在． ……12分

【解析】略