Question

若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。

(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；

 (2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。

(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

Answer

【解析】
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得

可知y1+y2=－2m  y1y2=2c   ∴x1+x2=2m2—2c  x1x2= c2,

(1) 当m=－1,c=－2时，x1x2 +y1y2=0 所以OA⊥OB.

(2) 当OA⊥OB时，x1x2 +y1y2=0 于是c2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).

(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2 ]=  由(2)知c=－2 

∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。

【解析】略