Question

如图已知正四棱柱ABCD----A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点。

（1）证明：EF⊥平面_;

（2）求点A₁到平面BDE的距离;

（3）求BD₁与平面BDE所成的角的余弦值.

Answer

(1) 以D为原点，DA、DC、AA1所在直线

为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.

D(0，0，0)，B（1，1，0）

D1（0，0，2），E（0，1，1），F（，，1）       

∴=（1，1，0），=（0，0，2），  

x

     =（，－，0）                                                                                                                 

由 ·=0，·=0，

得，EF⊥DB，EF⊥DD1 ∴EF⊥面D1DB1----------------------------------------------------

(2) 设=（x,y,z）是平面BDE的法向量，=(1,1,0)， =(0,1,1)

由⊥, ⊥得 即

∴取y=1，=（-1，1，-1）

,由(2)知点到平面BDE的距离为  =----

(3) =(-1,-1,2)

由(2)知

设直线BD1与平面BDE所成的角的正弦值为,则sin=,cos=

∴直线BD1与平面BDE所成的角的余弦值为--------------------

【解析】略