Question

（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到

   两个焦点的距离之和为，离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

  （Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与该椭圆交于点、,

以、为邻边作平行四边形，求该平行四边形对角线的长度

的最大值.

Answer

20．【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为,由已知得,

    ,从而椭圆方程为.    ----------------------------  4´

（Ⅱ）由上知.             -- ---------------------------------------------- 5´ 

 ① 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，将代入椭圆得.

   由对称性，不妨设，则，

   从而  ------------------------------------------------------------------------- 7´

② 若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为.

 设，由 消去得，

 ， -       - ---------------------------------------- 9´

则，  ------------------------ 10´

又由得，

.

从而-  -------------------------------- -------------------------------------- 13´

综上知，平行四边形对角线的长度的最大值是4. -  ---------------------------- 14´

【解析】略