Question

（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，已知，

，.

（Ⅰ）求直线与底面所成角正切值；

（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点的位置，

      使得（要求说明理由）；

  （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小.

Answer

     （Ⅱ）当E为中点时，.

    ，

    ，即. -----------------------------------   6´  

    又，.

     ，，. --- 9´

（Ⅲ）取的中点，的中点，则∥，且，

,连结，设，连结，

则∥，且，

  为二面角的平面角.  ---------------------------  12´

   ， ， 

 ∴二面角的大小为45°.   -----------------------------  15´

另【解析】
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则.  - -------------------------  2´

（Ⅰ），面的一个法向量.

 设与面所成角为，则 .-- 5´

 （Ⅱ）设，，则，,

   由，得，所以为的中点.  -------  9´

（Ⅲ）由，得，，又,

  可求得面的一个法向量，

  面的一个法向量,----------------------------------- 12´

   设二面角的大小为，则.----------- 14´

∴二面角的大小为45°.     -----------------------------  15´

【解析】略