Question

已知幂函数，且在上单调递增.

（Ⅰ）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；

（II）若在区间上不单调，求实数的取值范围；

（III）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

Answer

解: （Ⅰ）由题意知  解得         

又  ∴或，分别代入原函数得.

（II）由已知得.                    

要使函数不单调，则，则.

（III）由已知，

法一：假设存在这样的正数符合题意，则函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为

因而，函数在上的最小值只能在或处取得

又，从而必有

解得

此时，，其对称轴

∴在上的最大值为符合题意．

法二： 由(1)知，假设存在这样的正数，符合题意，则函数

的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为 ，  

（1）当，且，即时，在上单调递减，

  ，则与矛盾，故不可能；               

（2）当，且，即时，有

得或（舍去）.

所以 ，此时，，符合题意

综上所述，存在正数，使函数在区间上的值域为

【解析】略