Question

已知焦点在x轴的椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点  在直线（为长半轴，为半焦距）上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值

Answer

（1）又由点M在准线上，得         

故，    从而                           

所以椭圆方程为                           

（2）以OM为直径的圆的方程为

即                                

其圆心为,半径                              

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离            

所以，解得

所求圆的方程为                        

（3）方法一：由平几知：

直线OM：，直线FN：               

由得

所以线段ON的长为定值。                       

方法二、设，则 

又

所以，为定值

【解析】略