Question

．设函数f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R^*.

(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；

(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．

Answer

(1)由f(x)在(0,1]上为增函数，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.

(2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论，分0两种情况，当0时，可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点．

 [解析] (1)f′(x)＝－a·＋1.

因为f(x)在(0,1]上是增函数，

所以f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立，

即a≤＝在(0,1]上恒成立，

而在(0,1]上的最小值为，

又因为a∈R*，所以0时，令f′(x)＝0，得x＝∈(0,1]，

因为当00，

当时，f(x)max＝a－.

[点评] ①已知f(x)在[a，b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a，b]时，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，求单调区间时，令f′(x)>0(或f′(x)<0)．②求f(x)的最大值时，要比较端点处函数值与极值的大小．当f′(x)的符号不确定时，可对待定系数进行分类讨论．

【解析】略