Question

设椭圆的左、右焦点分别为 ，是椭圆上位于轴上方的动点 （Ⅰ）当取最小值时，求点的坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
（Ⅰ）设，，则

因为在椭圆上，所以，

，当时，取得最小值，此时点的坐标为.

（Ⅱ）设两个顶点为B，C，显然直线AC斜率存在，不妨设AC的直线方程为，代入椭圆的方程中可得，解得（即A点的横坐标），

由弦长公式得：

同理：z

由，即，化解得：

，即.

考虑关于的方程，其判别式

（1）当时，，其两根设为，由于，故两根必为正根，显然，故关于的方程有三解，相应地，这样的等腰直角三角形有三个.

（2）当时，，此时方程的解，故方程

只有一解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.

（3）当时，显然方程只有这一个解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个.

综上：当时，这样的等腰直角三角形有三个；当时，这样的等腰直角三角形只有一个.

【解析】略