Question

已知椭圆：＝1（a＞b＞0）与双曲线有公共焦点，且离心率为． 分别是椭圆的左、右顶点． 点是椭圆上位于轴上方的动点．直线分别与直线：交于两点．

（I）求椭圆的方程；

（II）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在点，使得的面积为？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（I）由已知得椭圆的焦点为，

，又 ，，椭圆的方程为.   ……..（4分）

（II）直线的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而                                                         ……..（5分）

由得0

设则得从而        

即所以

 得                         ……. ……..（7分）

故又

当且仅当，即时等号成立

时，线段的长度取最小值．                         ……..（9分）

 此时的方程为      

要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上．设直线

则由解得或                     

①当时由得，由于故直线与椭圆没有交点．

②当时，由，得

由于，故直线与椭圆有两个不同的交点或；

综上所述，当线段的长度最小时，在椭圆上仅存在两个不同的点或，使得的面积为．                      ……………..（12分）

【解析】略