Question

(本题满分14分) 设等差数列{a_n}的首项a₁为a，前n项和为S_n．

(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ) 证明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不构成等比数列．

Answer

(Ⅰ) 【解析】
设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋，

S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比数列，因此

＝S1S4，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．

(1) 当d＝0时，an＝a；

(2) 当d＝2a时，an＝(2n－1)a．                  …………6分

(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此

a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，      ①

(1) 当d＝0时，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；

(2) 当d≠0时，要使数列{an}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．

然而

Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾．

综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列

【解析】略