Question

(本题满分15分) 如图，椭圆C: x ²＋3 y ²＝3b²  (b＞0).

(Ⅰ) 求椭圆C的离心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝，求△AOB面积的最大值.

Answer

(Ⅰ)【解析】
由x2＋3y2＝3b2  得 ，

所以e＝＝＝＝．                     

(Ⅱ)【解析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．

如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；

如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

由 得x2＋3(kx＋m) 2＝3，

即 (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2) (3m2－3)＞0，

所以  x1＋x2＝－，x1 x2＝，

(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4 x1 x2＝，   ①

由 | AB |＝及 | AB |＝得

(x1－x2)2＝，                           ②

结合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原点O到直线AB的距离为，

所以S＝，

因此 S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１]

＝－(－2)2＋≤，

故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S max＝．

【解析】略