Question

（本题12分）已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,  

（I）求f(x)的极值.

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer

【解析】
（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)=0，解得x=－1或x=3，……………………2分

        当变化时，，的变化情况如下表：

-1

－

0

+

0

－

极小值

极大值

……………………4分

因此，当时，有极小值，且  

      当时， 有极大值，且……………………6分

（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，……………………7分

所以f(2)>f(－2)．

因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，……………………8分

又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上

的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．……………………10分   

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

      即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．……………………12分

【解析】略