Question

.(本小题满分14分)

设函数.其中为常数.

（Ⅰ）证明：对任意，的图象恒过定点；

(Ⅱ) 设，若为定义域上的增函数，求的最大值；

（Ⅲ）当时，函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）【解析】
令，得，且，所以的图象过定点； 

…………………2分

（Ⅱ），令,

由题设，对任意，有，又 ，

当时，，是减函数；

当时，，是增函数；

所以当时，有极小值，也是最小值，

又由,得，得，即的最大值为．

…………………9分

（Ⅲ）当时，， ,

令，经观察得有根，

下证明无其它根．

，当时，，即在上是单调递增函数．(不求导能指出是单调递增函数也行)

所以有唯一根,且当时，，在上

是减函数；当时，，在上是增函数；

所以是的唯一极小值点．极小值是．

…………………14分

【解析】略