Question

（（本小题满分13分）设O为坐标原点，曲线x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足OP⊥OQ.

(1)求m的值；

(2)求直线PQ的方程.

Answer

【解析】
(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.

因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，

所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.

(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)

则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2(b2－6b＋1)＞0，解得2－3 ＜b＜2＋3 .

x1＋x2＝b－4，x1x2＝，

y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝，

因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，

即＋＝0，得b＝1.

故所求的直线方程为y＝－x＋1.

【解析】略