Question

（本小题满分14分）

已知二次函数的图象过点，且函数对称轴方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设函数，求在区间上的最小值；

（Ⅲ）探究：函数的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
(Ⅰ) ∵ 的对称轴方程为，∴ ．  ………… 2分

又的图象过点（1，13），∴ ，∴ ．

∴ 的解析式为． ………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得： ……………………… 6分

结合图象可知：当，；

当，；

当，．……………………………… 9分

∴ 综上： ……………………………………… 10分

（Ⅲ）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为，其中为正整数，

为自然数，则，   ……………………………………… 11分

（法一）从而， 即 ． 

注意到是质数，且，又，

所以只有 ，   解得：．…………………………… 13分

因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．………… 14分

（法二）从而的偶数，∴ 的奇数

∴ 取验证得，当时符合

因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．………… 14分

【解析】略