Question

(本小题满分14分)

某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区.已知且,曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段.

(I)建立适当的坐标系,求曲线段的方程;

(II)如果要使矩形的相邻两边分别落在上,且一个顶点落在曲线段上,问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求这个最大值.

Answer

(I) 以O为原点,OA所在直线为y轴建立直角坐标系(如图),

依题可设抛物线方程为y2=2px(p>0),且C(4,2).由此可得,

故曲线段OC的方程为y2=x().……………………………6分

(II) 设P(t2,t)(),

则在矩形PQBN中,|PQ|=2+t,|PN|=4-t2.

工业园区面积S(t)=|PQ||PN|=(2+t)( 4-t2)= -t3-2t2+4t+8.

……………………………8分

导数= -3t2-4t+4,

当时,; 当时,.

所以S(t)在上为增函数,在上为减函数…………10分.

所以时,Smax=;此时.…………13分

答：当矩形的长为km,宽为km时,园区面积最大,最大值为km2.-----14分

【解析】略