Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知： ，2a+2c=4(+1)

所以a=2，c=2，又=，因此b=2。

故 椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，因此 双曲线的标准方程为      ……………4分

（Ⅱ）设A（，），B（），P（），

则=，。

因为点P在双曲线上，所以。

因此，

即            ……………………8分

（Ⅲ）由于的方程为，将其代入椭圆方程得

由韦达定理得

同理可得.

则  ，又  ，所以  .

故 

因此  存在，使恒成立.

【解析】略