Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明：PA∥平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD.

 

Answer

证明：（1）连结AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点。

又∵E是PC的中点

∴在中，EO为中位线

∴PA∥EO。                                          …………………….3分

而EO平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB。                                     ……………………6分

（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，

∴BC⊥DE。①                                        ……………………8分

PD＝DC，E是PC的中点，

∴是等腰三角形，DE⊥PC。②                   ……………………10分

由①和②得DE⊥平面PBC。

而PB平面PBC，

∴DE⊥PB。                                          ……………………12分

又EF⊥PB且DEEF＝E，

∴PB⊥平面EFD。

【解析】略