Question

（本小题满分14分）

如图，直线和相交于点且，点.以为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点的距离相等.若为锐角三角形，，，且.

（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；

（2）在（1）所建的坐标系下，已知点在曲线段C上，直线，求直线被圆截得的弦长的取值范围.

Answer

【解析】
法一：

（1）依题意易知曲线段c是抛物线的一部分

（2）如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线

为y轴，点O为坐标原点.

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线

的一段，其中A、B分别为C的端点.

设曲线段C的方程为，y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0）

其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以M（，0），N（，0）

由|AM|＝，|AN|＝3得：

（xA＋）2＋2pxA＝17             ①

（xA）2＋2pxA＝9        ②

由①②两式联立解得xA＝，再将其代入①式并由p>0，解得或

因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去

所以p＝4，xA＝1．由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|＝4．

综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

（3）点在曲线段C上，

圆的圆心到直线的距离为

则直线被圆截得的弦长

所以则直线被圆截得的弦长的取值范围为

解法二：

（1）同前

（2）如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，

M为坐标原点.作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别

为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）

依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，

yA＝|DM|＝

由于△AMN为锐角三角形，故有

xN＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6．

设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合

｛（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0｝

故曲线段C的方程为y2＝8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．

（3）方法同前

【解析】略