Question

已知椭圆C： 的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点P(0,1)，且满足PA＝PB，求直线的方程．

Answer

解 (1)由已知2a＝6，＝，解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1。

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点为E.

由得(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点，

∴Δ＝144k2－12(1＋3k2)>0，解得k2>.且x1＋x2＝，x1x2＝.

而y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝k·－4＝－，∴E点坐标为.

∵PA＝PB，∴PE⊥AB，kPE·kAB＝－1.∴·k＝－1.解得k＝±1，满足k2>，

∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y＋2＝0.

【解析】略