Question

函数，过曲线上的点的切线方程为.

(1)若在时有极值，求的表达式；

(2)在(1)的条件下，求在[－3,1]上的最大值；

(3)若函数在区间[－2,1]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，

即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)．而过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1.故即

∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0.∴－4a＋b＝－12.  ③

由①②③联立解得a＝2，b＝－4，c＝5，∴f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.

(2)f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－2.

列下表：

x

－3

(－3，-2)

-2

（-2，)

(，1)

1

f′(x)

＋，

0

－

0

＋

f(x)

8

极大值

极小值

4

∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f()＝.又∵f(－3)＝8，f(1)＝4，

∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.

(3)y＝f(x)在[－2,1]上单调递增．又f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由(1)知2a＋b＝0.

∴f′(x)＝3x2－bx＋b.依题意在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，

当x＝≥1时，即b≥6时，[f′(x)]min＝f′(1)＝3－b＋b>0，∴b≥6时符合要求．

当x＝≤－2时，即b≤－12时，[f′(x)]min＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0，∴b不存在．

当－2<<1即－12