Question

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

Answer

【解析】
函数的定义域为.

，令，则在上递增，在上递减，.当时，，

在上恒成立.

即当时,函数在定义域上单调递增。

（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.

（2）当时，，时，

时，时，函数在上无极值点。

（3）当时，解得两个不同解，.

当时，，，

此时在上有唯一的极小值点.

当时，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点.

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点。

（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，

对任意正整数，取得

【解析】略