Question

已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由

Answer

（Ⅰ）设圆心为（）．由于圆与直线相切，且半径为，所以 ，即．因为为整数，故．

故所求圆的方程为． …………………………………4分

（Ⅱ）把直线即．代入圆的方程，消去整理，得

．

由于直线交圆于两点，故．

即，由于，解得．

所以实数的取值范围是．………………………………9分

（Ⅲ）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为

的方程为，即

由于垂直平分弦AB，故圆心必在上，

所以，解得。由于，故存在实数

使得过点的直线垂直平分弦AB

【解析】略