Question

已知函数．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性；  （Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围

Answer

（Ⅰ）函数的定义域为{且}      ………………… 1分

∴为偶函数                                       ………………… 3分

（Ⅱ）当时， ………………… 4分

若，则，递减；  

若，   则，递增．                ………………… 6分

再由是偶函数，得的递增区间是和；

递减区间是和．                     ………………… 8分

（Ⅲ）方法一：要使方程有实数解，即要使函数的图像与直线有交点． 函数的图象如图．…………………    9分

先求当直线与的图象相切时的值．

当时， 设切点为，则切线方程为

，将代入，得

即   （*）                      

显然，满足（*）

而当时，，当  时，

∴（*）有唯一解       此时

再由对称性，时，也与的图象相切，………………… 13分

∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

方法二：

由，得：             …………………  9分

令

当，       …………………10分

显然     时，，

时，，

∴时，                 …………………  12分 

又，为奇函数

∴时，

∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）       ………………… 13分

∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

【解析】略