Question

P为椭圆＋＝1上任意一点，F₁、F₂为左、右焦点，如图所示．

(1)若PF₁的中点为M，求证：|MO|＝5－|PF₁|；

(2)若∠F₁PF₂＝60°，求|PF₁|·|PF₂|之值；

(3)椭圆上是否存在点P，使·＝0，若存在，求出P点的坐标， 若不存在，试说明理由

Answer

(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，

∴|MO|＝＝

＝a－＝5－|PF1|.

(2)【解析】
∵ |PF1|＋|PF2|＝10，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，

在△PF1F2中，cos 60°＝，

∴|PF1|·|PF2|＝100－2|PF1|·|PF2|－36，

∴|PF1|·|PF2|＝.

(3)【解析】
设点P(x0，y0)，则＋＝1.①

易知F1（-3，0），F2（3，0），故PF1＝(－3－x0，－y0)，

PF2＝(－3－x0，－y0)，

∵PF1·PF2=0，∴－9＋＝0，②

由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．

【解析】略