Question

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.

(1)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；

(2)求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．

Answer

【解析】
解法一：(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC.

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.

∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC.

取Q为AN的中点，则PQ∥NC，

∴PQ⊥OA.

在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°.

在Rt△AON中，∠OAN＝30°，

∴ON＝AN＝AQ.

在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴＝3.

(2)连结PN，PO.

由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB.

又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON.

又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC.

∴OP是NP在平面AOC内的射影．

在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，

∴AC⊥OP.

根据三垂线定理，知AC⊥NP.

∴∠OPN为二面角O－AC－B的平面角．在等腰Rt△COA中，OC＝OA＝1，

∴OP＝.

在Rt△AON中，ON＝OAtan 30°＝，

∴在Rt△PON中，PN＝，

∴cos ∠OPN＝＝.

【解析】略