Question

已知函数f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6ln x＋m.

(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数m使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】
(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.

当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；

当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.

综上，h(t)＝

(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．

∵Φ(x)＝x2－8x＋6ln x＋m，

∴Φ′(x)＝2x－8＋＝

＝ (x>0)

当x∈(0, 1)时，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，Φ′(x)<0，Φ(x)是减函数；

当x∈(3，＋∞)时，Φ′(x)>0，Φ(x)是增函数；

当x＝1或x＝3时，Φ′(x)＝0.

∴Φ(x)极大值＝Φ(1)＝m－7，

Φ(x)极小值＝Φ(3)＝m＋6ln 3－15.

∵当x充分接近0时，Φ(x)<0，当x充分大时，Φ(x)>0

∴要使Φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

即7