Question

．（本小题满分13分）如图，四棱锥中，⊥底面∥，，∠=120°，=，∠=90°，是线段上的一点(不包括端点).

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值；

（Ⅲ）试确定点的位置，使直线与平面所成角的正弦值为.

Answer

解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC                （4分）

（Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE建立如图所示空间直角坐标系，则

A（0，，0，0），P（0，0，），C（，0），D（，0）

，，                  (6分)

易求为平面PAC的一个法向量.

为平面PDC的一个法向量     

∴cos

故二面角D-PC-A的正切值为2.  (10分)

（Ⅲ）设,则  ,

解得点,即  

由得(不合题意舍去)或

所以当为的中点时,直线与平面所成角的正弦值为   （13分）

【解析】略