Question

如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt∆FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ.

（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域；

（2）若sinθ+cosθ=，求此时管道的长度L；

（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？

并求出此时管道的长度.

 

Answer

【解析】
（1）EH=，FH=     EF=  分

由于BE=10tanθ≤10, AF=≤10 故≤tanθ≤,θ∈[,]分

L=++，θ∈[,]

(2) sinθ+cosθ=时，sinθ•cosθ=,    L=20(+1);

(3)L=++     设sinθ+cosθ=t 则sinθ•cosθ=

由于θ∈[,]，所以t=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈[,]

L=在[,]内单调递减，

于是当t=时，即θ=,θ=时L的最大值20(+1)米

【解析】略